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Les Histoires belges de Poincaré. Entretien avec Jean Mawhin

Jean Mawhin est né à Lambermont (Verviers) le 11 décembre 1942. Docteur en sciences mathématiques de l'Université de Liège en 1969, il fut professeur à l'Université catholique de Louvain, de 1970 à 2008 et il est professeur émérite de cette institution depuis 2008. Professeur visiteur de nombreuses universités, il est l'auteur d'environ 350 articles et 10 livres ou monographies sur les équations différentielles et l'analyse fonctionnelle non linéaire, la théorie des points critiques, l'analyse réelle et l'histoire des mathématiques. Jean Mawhin, membre de la Classe des Sciences à l'Académie royale de Belgique, Docteur Honoris Causa des Universités de Bucarest, Polytechnique de Bucarest et Grenade, a été professeur visiteur d'un très grand nombre d'universités en Europe et dans le monde, il est titulaire de nombreux prix et distinctions, on ne compte plus ses participations à des colloques scientifiques ou ses articles publiés dans des revues spécialisées... et il jouit d'une renommée qui touche jusqu'aux profanes puisqu'un théorème porte son nom.

Monsieur Mawhin, pourquoi les mathématiques ?

Oh, c'est une histoire très banale. Enfant, j'étais passionné par tout ce qui touchait à l'automobile, entre autres choses sur le plan technique. J'ai vite compris que la maîtrise de la mécanique impliquait des connaissances en physique... et que la physique elle-même nécessitait une formation sérieuse en mathématiques. J'ai d'ailleurs hésité entre la physique et les mathématiques au début de mes études universitaires à Liège. J'avais à l'époque aussi passé le concours d'ingénieur. Je ne suis pas issu d'une famille d'intellectuels, je dirais plutôt de techniciens et mon père, qui travaillait dans une entreprise de menuiserie, rêvait sans doute de me voir devenir ingénieur. Tout cela a dû jouer, sans doute.

On ne peut évoquer votre nom sans parler du « théorème de Mawhin ». S'il est un terme qui frappe les esprits profanes en mathématiques, c'est bien celui de théorème. Et y ajouter un nom propre confère à ce dernier un prestige énorme, mais le théorème lui-même ne reste-t-il pas trop compliqué pour le grand public ?

Oh, ce n'est pas très compliqué et cela peut intéresser tout esprit un peu curieux... Ce théorème répondait à un obstacle épistémologique qui durait depuis longtemps. Dans les années trente, la théorie de Leray et Schauder, deux mathématiciens éminents, donnait une méthode très puissante pour étudier des équations différentielles de types très variés. Cette méthode, toujours d'actualité, imposait aux équations une certaine structure pour s'appliquer. Mais, pour les problèmes de solutions périodiques d'équations différentielles de la mécanique, qui m'intéressaient, cette structure-là ne semblait pas réalisée... et j'ai trouvé le « truc » pour le faire. Comme l'écrit si bien Philippe Robert-Jones dans L'un L'autre : « qui pense trop n'est doué que s'il prend l'autre chemin ». A posteriori, je me dis qu'au fond, il n'y avait rien d'exceptionnel à cette trouvaille, il fallait la voir. Et ce qui a été surprenant, c'est finalement le succès et le nombre de ses applications et le nombre de mathématiciens différents qui en ont alors tiré des choses auxquelles je n'avais jamais pensé, en particulier en théorie mathématique des populations... (à laquelle je n'ai pas vraiment contribué).

C'est donc vraiment une question méthodologique ?

Oui, une méthode qui se révèle très efficace dans le cadre de problèmes variés et que d'autres auraient pu trouver dès 1930 : il n'y avait besoin d'aucun « progrès » mathématique entre ces années 30 et les années 70 pour y arriver... Mais je crois que cela se passe régulièrement en science : on est paralysé par une structure et il faut que des circonstances aident à vous en débarrasser. Mais pour appliquer cette méthode, il faut chaque fois beaucoup d'ingéniosité.

Ce n'est pas une recette...

Non, c'est typique aussi de la méthode de Leray-Schauder : la partie difficile n'est pas réellement dans la méthode mais plutôt dans l'application. Il faut vraiment de l'imagination et de la technique... Quoi qu'il en soit, le succès de ce théorème et le fait qu'il survive depuis quarante ans est toujours resté une surprise pour moi. D'ailleurs, le dernier article que je viens d'écrire m'a encore donné l'occasion de l'appliquer.

Vous tiendrez une conférence ce mercredi 9 mai à l'Académie royale sur « Les histoires belges de Poincaré ». Pourquoi Poincaré, parce que c'est le centième anniversaire de sa mort ?

Poincaré est aussi, et d'abord, un amour de jeunesse. À l'époque où j'ai écrit ma thèse (sous la direction d'un astrophysicien, Paul Ledoux, qui a été membre de l'Académie), ma place naturelle pour commencer un travail de chercheur aurait dû se trouver dans le département de mathématiques de l'université de Liège, mais l'atmosphère y était à l'époque assez lourde... Un professeur, plus proche de ce que j'aurais aimé faire, était d'un abord difficile, un autre, plus accessible, faisait des mathématiques trop abstraites pour mon intérêt de l'époque... j'avais fait mon mémoire de licence avec Paul Ledoux, professeur de mécanique analytique et céleste, et spécialiste des oscillations d'étoiles. Il m'a engagé avec l'espoir que je travaillerais dans cette direction. Je n'ai pas comblé cet espoir mais je lui suis très reconnaissant de m'avoir laissé une liberté totale et j'ai finalement fait une thèse sur les oscillations périodiques des équations différentielles, un des grands domaines de recherche de Poincaré. Dès ma thèse j'ai lu Poincaré... Quand j'allais à Paris, j'essayais d'ailleurs toujours de trouver l'un ou l'autre livre de Poincaré et je suis heureux d'avoir pu (à l'époque, Poincaré était un peu tombé dans l'oubli et ses livres ne coûtaient pas cher) me constituer une belle bibliothèque sur lui. Et puis, en 1980, ce fut l'émergence de la fameuse théorie du chaos... et on s'est rendu compte que c'est Poincaré, qui en était en réalité le précurseur.

Le fameux effet-papillon ?

C'est cela. Mais Poincaré était tombé dans l'oubli, il n'avait pas été compris ...

Cela permet à certains d'affirmer que Poincaré est en fait très moderne.

Ah oui, il est en effet très moderne... Et à ce moment-là le prix des livres a été multiplié par vingt ! Non seulement les fameux petits livres orange (1) mais aussi ses livres sur la mécanique céleste... j'ai de la chance de les avoir tous, pour les avoir achetés à un moment où ce n'était pas ruineux pour un jeune chercheur.

Et puis, à l'époque où j'étais un jeune mathématicien, le monde mathématique, c'était Bourbaki, c'était la mathématique abstraite et dégagée de la physique... Notre situation n'était pas vraiment facile à l'intérieur du monde des mathématiques, on était considérés comme des mécaniciens en fait. Poincaré a donc lui aussi été étouffé par Bourbaki, il ne correspondait pas du tout, dans sa manière de faire des mathématiques, à leur philosophie. Poincaré, lui, était lié à des applications, ce qui ne l'a pas empêché d'arriver aux mathématiques les plus abstraites.

Pourtant Poincaré refusait de soumettre les mathématiques à l'utilité...

Bien sûr, alors même qu'il était polytechnicien et ingénieur, il préconisait de faire de la science pour la science et si on arrivait à des applications, c'était par surcroît... C'est une approche qui me plaît beaucoup et le personnage m'a toujours beaucoup intéressé. Poincaré c'est vraiment un amour de jeunesse, bien avant qu'il soit revenu « à la mode »...

Les mathématiques ont une histoire et elle n'est pas « linéaire »...

Oui, les mathématiques sont une histoire humaine, d'abord. La plupart des gens s'imaginent que les théorèmes ont été créés une fois pour toutes et de toute éternité dans leur état actuel, mais non : c'est une évolution, avec des progrès, avec des erreurs, avec des crises, des imprécisions, et ceux qui croient qu'on est arrivé à la rigueur absolue seront démentis dans cinquante ans. Le côté fort et convaincant des mathématiques n'apparaît que parce qu'on se situe a priori dans une structure donnée, on part d'affirmations a priori et on ne sort pas du cadre.

L'axiomatique ?

C'est cela, la vérité mathématique n'est pas une vérité absolue mais seulement relative au système d'axiomes dans lequel on se trouve. Et les axiomes actuels sur lesquels on se base, on n'en a jamais prouvé la consistance... Nous ne savons pas si nous travaillons sur du sable ou non.

Il y a d'ailleurs eu des crêpages de chignon...

Oh oui, et j'ai d'ailleurs fait campagne contre la mauvaise interprétation de l'expression « modèle mathématique » (à propos de l'évolution, du climat par exemple) et je crois que pour le grand public cette expression est extrêmement dangereuse et souvent mal comprise. On y met deux choses : d'abord qu'est-ce qu'un « modèle » ? C'est quelque chose de presque parfait, qu'on peut ou doit admirer, et puis quel est le sens de l'adjectif « mathématique » ? Dans l'esprit des gens, c'est ce qui est parfaitement rigoureux... Or un modèle mathématique, ça n'est ni l'un ni l'autre. Un modèle mathématique, c'est une approximation, une tentative d'appréhension de la réalité par des mathématiques ; mais si vous voulez être trop proche de la réalité, vous ne pourrez rien dire sur les mathématiques, et si vous vous contentez de mathématiques trop simples, vous ne correspondrez plus à la réalité... Ce qu'il faut c'est un compromis, se situer à une distance des deux telle que le modèle garde quand même une signification pour la physique, pour les applications, mais reste suffisamment simple pour que les mathématiciens puissent en dire quelque chose. Donc un modèle mathématique, ce n'est pas la réalité, loin de là. J'avais un collègue qui parlait de « singerie de la réalité ». Je préfère le mot « caricature », car il s'agit d'être le plus ressemblant possible avec un minimum de traits.

Ce qui nous renvoie à cette notion de paradigme, qu'on appelle axiomatique en mathématiques, et dont aucun ou aucune ne peut prétendre à la réalité totale...

Absolument, en mathématiques il y en a plusieurs qui coexistent et suivant celle que vous prenez un même énoncé peut être vrai ou faux.

Cela corrobore l'expression « invention » des mathématiques, sans référence évidemment à l'imaginaire mais au sens de construction intellectuelle... Alors, par exemple, le grand débat entre Russell et Poincaré sur le rôle de la logique en mathématiques, vous en parlez dans votre conférence ?

Oh, je vais éviter la technicité et ne vais presque pas parler de mathématiques ; ce sera une conférence d'histoire plutôt que de mathématiques… Je présenterai bien entendu Poincaré pour ceux qui ne le connaissent pas bien, mais il n'y aura pas de formules... Ce sera compréhensible par tout le monde. Mais à l'occasion du centième anniversaire de sa mort... un peu partout on va parler de Poincaré cette année, de célébrations... et je me suis dit, au fond Poincaré a eu des relations très intéressantes et assez étroites avec la Belgique. J'insisterai surtout sur ce discours qu'il a fait lors du 75e anniversaire de l'ULB, quand il fut fait Docteur Honoris Causa, et dont une des phrases, retenue de manière emblématique en particulier par cette université, est devenue à juste titre célèbre. Cependant sa conférence est beaucoup plus intéressante encore que cette phrase-là, parce qu'elle contient beaucoup de subtilité, d'humour... Poincaré est un homme dont les portraits ne montrent pas bien le côté ironique, cette ironie qui rappelle parfois les canulars d'élèves de Polytechnique… Tout cela rend très intéressant cet exposé de Poincaré, qui, en dehors de la fameuse phrase, est assez peu connu finalement et que j'analyserai de manière à essayer de décrire ses sentiments envers la science, envers les rapports entre la science et la libre pensée... Je n'oserai pas dire que c'est philosophique, n'étant pas moi-même philosophe...

La malheureuse confusion entre les deux Poincaré, Henri le scientifique et Raymond l'homme politique, n'est-elle pas entretenue aussi par le fait qu'Henri Poincaré a pris certaines positions, par exemple dans l'affaire Dreyfus, même s'il a toujours refusé de « faire de la politique » ?

D'abord, pour s'occuper de politique, Henri Poincaré n'en avait ni le tempérament ni le temps. Méfiant devant les engagements de ce type, très pris aussi par son travail scientifique, il s'y est toujours refusé. Par contre il a consacré beaucoup de temps à l'administration et la gestion scientifiques. La science était sa passion et son horizon, même s'il fallait en passer par des tâches de type administratif. Pour revenir à ce rapport sur l'affaire Dreyfus, c'est l'un des rares moments où il est aussi dur, en particulier contre Bertillon. Car souvent il enrobe ses attaques d'une certaine gentillesse mais là non, il était visiblement excédé.

Puis c'est pour lui, cette manipulation des probabilités faite par Bertillon pour condamner Dreyfus, c'est une atteinte insupportable à l'idée qu'il se fait de la science et des mathématiques ? Outre le fait que ce soit juridiquement abusif, il ne peut admettre qu'on renverse la charge de la preuve en se servant des probabilités...

Tout à fait, et ce qui est intéressant dans son attitude, c'est qu'il n'a pas pris position sur le fait de la culpabilité ou non de Dreyfus... Il a d'ailleurs très rarement pris position, ce n'est pas quelqu'un qui s'engageait volontiers, il était plutôt solitaire, remplissait les obligations de la vie sociale mais restait souvent perdu dans ses pensées, et puis sa tradition familiale n'était pas « de gauche », il ne s'engageait pas comme Painlevé, par exemple ou Jacques Hadamard... Il ne s'engageait pas non plus par sentiment ou émotion et d'ailleurs sa position est peu claire au début de l'affaire Dreyfus... C'est Painlevé qui lui a demandé d'écrire une lettre au sujet du fameux bordereau, et là, c'était à l'avant-dernier procès, il avait déjà dit qu'on ne pouvait pas condamner là-dessus; ensuite il a été mandaté, avec deux autres grands mathématiciens contemporains, lors du dernier procès, pour écrire un rapport sur l'analyse scientifique de l'affaire, un rapport d'une centaine de pages... qui concluait qu'on ne pouvait condamner Dreyfus sur ces preuves-là. Il est donc devenu dreyfusard par conviction rationnelle.

Pas par a priori...

Il y en avait qui étaient antimilitaristes et donc plutôt dreyfusards a priori, d'autres étaient antisémites et donc plutôt antidreyfusards a priori... lui n'avait aucun a priori, il a étudié l'affaire comme un problème. C'est la force de ce rapport qui sera capital pour la réhabilitation de Dreyfus. Un rapport sans langue de bois...

Il y a des convergences intéressantes entre mathématiques et philosophie (cette construction continuelle et paradigmatique, ces progrès qui ne sont pas des dépassements etc.) et Poincaré en est un bel exemple. Certains ont voulu voir une proximité de pensée avec Kant...

N'oublions pas que son beau-frère était Émile Boutroux ! Comment imaginer qu'ils n'aient pas souvent discuté ? L'influence est évidente sans pour autant que Poincaré n'adopte une position philosophique précise. Certains ont cru pouvoir lire chez Poincaré une forme d'intuitionnisme kantien parce que Poincaré évoque l'intuition dans son livre La valeur de la science, mais sa conception de l'expérience est tout à fait étrangère aux « formes a priori » de Kant. D'ailleurs Poincaré détestait ouvertement tous les « ismes », il suffit de se rappeler son discours de réception à l'Académie Française, discours sur son prédécesseur Sully-Prudhomme. Il n'empêche que Poincaré avait un intérêt pour la philosophie, il a d'ailleurs travaillé pour la Revue de métaphysique et de morale. C'était au sens propre un « génie ». Ce terme, galvaudé aujourd'hui, colle bien à un esprit aussi éclectique et novateur que ce lui de Poincaré. En le lisant, je ressens mieux qu'ailleurs la différence entre le génie et le talent. À son époque, il était d'ailleurs une vraie référence scientifique.

Poincaré, malgré sa passion pour la science, n'était pas un « scientiste ».

Non, absolument pas. Ni un « sceptique » en soi. Ce n'est pas, avec Poincaré, l'affirmation qu'il n'y a pas de vérité, c'est le rappel que le doute est essentiel. D'ailleurs, sa fameuse sentence sur la pensée (La pensée ne doit jamais se soumettre etc.), si fièrement affichée à l'Université du libre examen, qui proclame ce devoir absolu de libre examen en matière scientifique, doit être comprise aussi comme un avertissement : il ne faut pas créer une nouvelle « religion du libre examen ». Un savant qui doute n'est pas un savant ignorant, c'est un savant qui veut en savoir davantage.

Scientifiquement, l'ULB doit beaucoup à Poincaré. Pas seulement la fameuse citation. C'est un jeune mathématicien, Théophile de Donder, formé à Paris par Poincaré et revenu en Belgique, qui fondera et développera véritablement les instituts de physique théorique et de mathématique, la fameuse « École de Bruxelles ».

On a parfois comparé, voire confronté, Poincaré et Einstein...

La mythologie qui s'est créée autour d'Einstein, alors que la mémoire de Poincaré s'est un peu estompée, tient sans doute à plusieurs éléments : peut-être est-ce lié à l'époque, à la culture de référence, à l'association mentale assez partagée et spectaculaire, entre les travaux d'Einstein, sa fameuse équation e=mc² et la bombe atomique... Qui sait ? Mais en voyant, un siècle après sa mort, à quel point Henri Poincaré est encore pertinent, ouvert, fécond, on ne peut s'empêcher de vouloir lui rendre justice.

De son vivant déjà, certains avaient mal compris l'une ou l'autre de ces thèses...

Oui, quand Poincaré critiquait la notion d'espace absolu, avec pour conséquence que, s'il n'y a plus d'espace absolu il n'y a plus de système de référence privilégié, et donc que l'affirmation « la terre tourne autour du soleil » ne signifie rien en réalité, certains se sont cru autorisés à dire que Poincaré remettait en cause l'héliocentrisme. C'était évidemment ridicule mais cela a fort énervé Poincaré à l'époque...

Poincaré s'est aussi intéressé aux fondements des mathématiques. On l'a dit, l'histoire des mathématiques n'est ni linéaire ni exempte de crises. La crise des irrationnelles dès l'Antiquité, celle du calcul infinitésimal, la théorie des ensembles et les paradoxes de Cantor... la multiplication des paradigmes n'arrête cependant pas les mathématiciens dans leur quête de l'unité ? Cette obsession de l'unité qui marque tant d'autres domaines serait-elle, en mathématique, un idéal, une illusion, une obsession ?

D'abord, il faut dire qu'une telle recherche est le seul remède à l'expansion continue. Il faut établir des ponts entre les divers domaines de la mathématique, pour conserver sens et dialogue. À cet égard, Poincaré était un maître. Il a commencé par travailler, avec Charles Hermite, sur la théorie des nombres, l'arithmétique, avant de développer une théorie des fonctions automorphes, et dans les deux cas, il a utilisé les géométries non euclidiennes... constatant que cette géométrie non euclidienne éclairait tout. Hermite eut beau lui dire de laisser tomber cette approche, Poincaré a persisté, à raison. Quant à la théorie des groupes, débutante à l'époque, il ose la mettre au centre des mathématiques. Il est à l'origine de la théorie de la relativité restreinte, insistant sur le rôle du groupe de Lorentz...

Poincaré est un très grand scientifique, un immense mathématicien. Mon amour de jeunesse pour lui n'a jamais cessé et je suis heureux de l'opportunité qu'offrent le centenaire de sa mort et le Collège Belgique pour faire partager cette admiration pour Poincaré, et faire mieux connaître ses liens avec la Belgique, à travers Théophile De Donder, l'Académie, l'Université libre de Bruxelles et le premier Conseil Solvay.

Michel Gergeay - Avril 2012

(1) La Science et l'Hypothèse (Flammarion - 1902) - La Valeur de la Science (Flammarion - 1905) - Science et Méthode (Flammarion - 1908) - Savants et écrivains (Flammarion - 1910) - Les méthodes nouvelles de mécanique céleste (Gauthier-Villars- 1893) - Dernières Pensées (Flammarion - 1913, posthume).

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