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Arithmétique, automates et géométrie discrète
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Le Collège Belgique    Leçons    Suites automatiques et algébricité de séries formelles
Mer
16  02
17:00
Mercredi 16 février 2011 à 17 heures
Bruxelles – Salle à déterminer
Suites automatiques et algébricité de séries formelles
Le but de ce cours-conférence est de présenter certains liens entre la théorie des nombres, la théorie des langages formels et la géométrie discrète. Bien plus que de présenter des thématiques cloisonnées et indépendantes, nous souhaitons mettre à l’avant-plan les interactions fructueuses et non triviales existant entre ces différents domaines de recherche.

Ainsi, les suites automatiques étudiées en particulier par Cobham au début des années 1970 permettent-elles de caractériser les séries formelles algébriques en caractéristique positive (c’est un théorème de Christol en 1979, complété en 1980 dans un article de Christol, Kamae, Mendès France et Rauzy).

Un autre exemple est un résultat récent de H. Derksen qui stipule que l’ensemble d’annulation d’une suite linéaire récurrente sur un corps de caractéristique positive possède une structure qui s’interprète parfaitement dans le formalisme de la théorie des automates ; ceci contribuant notamment à l’obtention de preuves effectives.

Dans le même registre, les liens entre combinatoire des mots et approximations diophantiennes sont remarquables. Par exemple, la transcendance de certains nombres réels peut se déduire de propriétés combinatoires dont jouissent leurs développements dans une base entière.

De même, un théorème fondateur dû à A. Cobham montre que la reconnaissance par automate fini du langage formé des représentations en base entière des éléments d’un ensemble d’entiers dépend fortement de la base choisie. Ces ensembles reconnaissables d’entiers sont considérés comme particulièrement simples si l’on s’intéresse à la complexité des machines requises pour les décrire. Ce théorème de Cobham trouve, par exemple, des applications en vérification algorithmique de systèmes utilisant des variables non bornées.

Enfin, en géométrie discrète, la construction et l’étude de plans discrets ou plus généralement de surfaces discrétisées font intervenir des développements simultanés en fractions continues ou encore des suites engendrées par morphisme itéré.

Les leçons du Collège Belgique sont accessibles à tous, gratuitement et sans inscription préalable.
Programme
17:00
19:00
Suites automatiques et algébricité de séries formelles
Intervenants
Photos
Photo Philippe Molitor